没签劳动合同老板开除员工，员工可通过与老板协商、向劳动监察部门投诉、申请劳动仲裁等方式，要求老板支付未签订劳动合同的双倍工资差额、违法解除劳动合同的赔偿金或经济补偿。

根据《中华人民共和国劳动合同法》相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。因此，在这种情况下，员工有多项权益可争取。

员工要收集相关证据，这是维护自身权益的重要基础。证据包括但不限于工资支付凭证或记录（如工资条、银行转账记录）、工作证、考勤记录、同事证言等，这些证据能证明员工与用人单位存在事实劳动关系以及工作的起始时间、工资待遇等重要信息。

员工可以先尝试与老板进行协商解决。在协商时，员工要明确指出老板未签订劳动合同以及违法开除的行为违反了法律规定，并依据法律提出自己合理的诉求，如支付双倍工资、经济补偿等。通过友好协商，有可能较快地解决问题。

如果协商不成，员工可以向劳动监察部门进行投诉。劳动监察部门有权对用人单位进行监督检查，对于用人单位的违法行为会依法进行处理。员工只需向劳动监察部门如实反映情况，并提交之前收集的相关证据即可。

最后，申请劳动仲裁也是重要的途径。员工需要向当地劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请书以及相关证据材料。仲裁委员会受理后会安排开庭审理，在审理过程中，双方会进行举证、质证和辩论。仲裁委员会会根据事实和法律作出裁决。如果员工对仲裁结果不满意，还可以在规定的时间内向人民法院提起诉讼。总之，员工要积极运用法律武器维护自己的合法权益。

法律依据：

《中华人民共和国劳动合同法》 第十条

建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。

已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。

用人单位与劳动者在用工前订立劳动合同的，劳动关系自用工之日起建立。

《中华人民共和国劳动合同法》 第八十二条

用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。

用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。