打人构成轻伤涉嫌故意伤害罪，一般会被刑事拘留，拘留时间最长不超过37天。之后可能会被逮捕并进入刑事诉讼程序，最终根据法院判决承担相应刑罚。

在我国法律体系中，对于打人构成轻伤的情况有着明确的规定。根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。当打人行为导致他人构成轻伤时，就已经达到了故意伤害罪的入罪标准。

从拘留的角度来看，通常会先进行刑事拘留。公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当提请人民检察院审查批准。一般情况下，公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当提请人民检察院审查批准的时间是拘留后的三日以内。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。而人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。所以，刑事拘留的最长期限就是37天。

如果经过侦查、审查起诉等阶段，最终被法院判定构成故意伤害罪，会根据具体的犯罪情节来量刑。犯罪情节较轻的，可能会被判处拘役或者管制。拘役的期限，为一个月以上六个月以下。管制的期限，为三个月以上二年以下。而如果犯罪情节相对较重，可能会被判处有期徒刑，一般是在三年以下有期徒刑的幅度内量刑。

此外，在整个司法过程中，犯罪嫌疑人、被告人如果符合取保候审、监视居住等条件，也可以申请变更强制措施，不一定会一直处于被羁押的状态。同时，如果犯罪嫌疑人积极赔偿被害人的损失，取得被害人的谅解，在量刑时也可能会得到从轻处罚。

法律依据：

《中华人民共和国刑事诉讼法》 第九十一条

公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。

对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。

人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。