连带责任保证人承担的责任是在主合同规定的债务履行期届满没有履行债务时，债权人既可以要求债务人履行债务，也可以要求保证人在其保证范围内承担保证责任。

连带责任保证是一种较为特殊的保证方式。在这种保证关系中，保证人的责任具有较强的连带性。当主合同的债务人未能按照约定在债务履行期届满时履行债务，债权人拥有选择权。债权人既能够向债务人主张权利，要求其偿还债务，也可以直接要求连带责任保证人在其保证范围内承担保证责任。

从法律规定来看，《中华人民共和国民法典》对连带责任保证作出了明确的规定。这体现了法律对于债权人权益的保护，赋予了债权人更多的保障途径。在实践中，连带责任保证常见于各种借贷、交易等合同关系中。例如，在民间借贷中，为了确保出借人的资金能够得到偿还，出借人可能会要求借款人提供连带责任保证人。当借款人到期无法还款时，出借人就可以直接找保证人要求其承担还款责任。

对于连带责任保证人而言，一旦承担保证责任，其在履行完保证义务后，有权向债务人进行追偿。也就是说，保证人代替债务人偿还债务后，就取得了对债务人的债权，可以要求债务人向自己偿还已经支付的款项。不过，保证人在承担保证责任时，也需要注意保证范围的问题。保证范围通常由当事人在保证合同中约定，如果没有约定或者约定不明确的，一般包括主债权及其利息、违约金、损害赔偿金和实现债权的费用。

连带责任保证人在保证关系中承担着较为重要的责任，对于保障债权人的合法权益起到了关键作用，同时也拥有相应的追偿权利。

法律依据：

《中华人民共和国民法典》 第六百八十一条

保证合同是为保障债权的实现，保证人和债权人约定，当债务人不履行到期债务或者发生当事人约定的情形时，保证人履行债务或者承担责任的合同。

第六百八十八条

当事人在保证合同中约定保证人和债务人对债务承担连带责任的，为连带责任保证。

连带责任保证的债务人不履行到期债务或者发生当事人约定的情形时，债权人可以请求债务人履行债务，也可以请求保证人在其保证范围内承担保证责任。