打人构成犯罪时，最好的处理方式是综合考虑多个方面，包括及时自首、积极赔偿、取得谅解、配合司法机关调查等，以争取从轻处罚。

当打人构成犯罪后，有一系列关键步骤有助于妥善处理该情况。及时自首是非常重要的一点。根据我国刑法规定，犯罪以后自动投案，如实供述自己的罪行的，是自首。对于自首的犯罪分子，可以从轻或者减轻处罚。其中，犯罪较轻的，可以免除处罚。自首体现了犯罪嫌疑人的认罪态度和悔罪表现，司法机关在量刑时会将此作为重要的考量因素。

积极赔偿被害人的损失也是至关重要的环节。这包括赔偿医疗费、误工费、护理费、营养费等因人身伤害所导致的直接经济损失。如果被害人因伤致残，还需要赔偿残疾赔偿金等。积极赔偿能够在一定程度上弥补被害人所遭受的损失，缓解被害人及其家属的情绪，也反映出犯罪嫌疑人有悔悟和承担责任的意愿。

取得被害人的谅解同样意义重大。犯罪嫌疑人及其家属可以与被害人进行沟通，诚恳地表达歉意，争取获得对方的谅解。被害人出具的谅解书在司法实践中对量刑有一定的影响，司法机关通常会酌情对犯罪嫌疑人从轻处罚。

在整个司法程序中，犯罪嫌疑人应当积极配合司法机关的调查工作。如实陈述案件的经过，不隐瞒、不歪曲事实。这有助于司法机关准确查明案件真相，依法作出公正的判决。同时，遵守司法机关的相关规定，按时参加庭审等活动。

此外，犯罪嫌疑人还可以寻求专业律师的帮助。律师能够根据具体的案件情况，为犯罪嫌疑人提供专业的法律建议和辩护策略，维护其合法权益。在处理打人构成犯罪的情况时，通过以上多方面的努力，才能最大程度地争取从轻处罚，实现较好的处理结果。

法律依据：

《中华人民共和国刑事诉讼法》 第一百一十条

任何单位和个人发现有犯罪事实或者犯罪嫌疑人，有权利也有义务向公安机关、人民检察院或者人民法院报案或者举报。

被害人对侵犯其人身、财产权利的犯罪事实或者犯罪嫌疑人，有权向公安机关、人民检察院或者人民法院报案或者控告。

公安机关、人民检察院或者人民法院对于报案、控告、举报，都应当接受。对于不属于自己管辖的，应当移送主管机关处理，并且通知报案人、控告人、举报人；对于不属于自己管辖而又必须采取紧急措施的，应当先采取紧急措施，然后移送主管机关。

犯罪人向公安机关、人民检察院或者人民法院自首的，适用第三款规定。