私下送养孩子不能直接办理收养证明，需要先确认送养和收养行为是否符合法律规定，若符合规定，应到县级以上人民政府民政部门办理收养登记，经审查合格后，民政部门会发放收养登记证，此证即具有收养证明的效力。

首先要明确，私下送养孩子存在诸多法律风险，且可能是违法的。根据《中华人民共和国民法典》规定，合法的送养和收养需要满足一定条件。送养人方面，孤儿的监护人、儿童福利机构、有特殊困难无力抚养子女的生父母可以作为送养人。收养人应当同时具备下列条件：无子女或者只有一名子女；有抚养、教育和保护被收养人的能力；未患有在医学上认为不应当收养子女的疾病；无不利于被收养人健康成长的违法犯罪记录；年满三十周岁。无配偶者收养异性子女的，收养人与被收养人的年龄应当相差四十周岁以上。

若送养和收养双方都符合上述法律规定，就可以进入办理收养登记的流程。第一步，收养关系当事人应当亲自到收养登记机关办理成立收养关系的登记手续。夫妻共同收养子女的，应当共同到收养登记机关办理登记手续；一方因故不能亲自前往的，应当书面委托另一方办理登记手续，委托书应当经过村民委员会或者居民委员会证明或者经过公证。第二步，收养登记机关收到收养登记申请书及有关材料后，会进行严格的审查。审查内容包括收养人的收养目的、是否具备抚养教育能力、送养人是否具备送养条件等。第三步，如果经审查，收养登记机关认为收养行为符合民法典规定的，会在受理登记申请之次日起30日内，为申请人办理收养登记，发给收养登记证，收养关系自登记之日起成立。

需要强调的是，如果私下送养行为不符合法律规定，不仅无法办理收养证明，还可能面临法律责任。例如，以非法获利为目的出卖亲生子女的，会被追究刑事责任。所以，涉及孩子送养和收养问题，一定要严格按照法律程序进行。

法律依据：

《中华人民共和国民法典》 第一千一百一十一条

自收养关系成立之日起，养父母与养子女间的权利义务关系，适用本法关于父母子女关系的规定；养子女与养父母的近亲属间的权利义务关系，适用本法关于子女与父母的近亲属关系的规定。

养子女与生父母以及其他近亲属间的权利义务关系，因收养关系的成立而消除。