租赁房屋继续承租分为续租和法定继续承租两种情况。续租需在租赁期限届满前与出租人协商，双方达成一致后重新签订租赁合同，可能还需办理备案等手续；法定继续承租则是在承租人死亡等特定情形下，与其生前共同居住或经营的人按原租赁合同继续租赁，无需重新签订合同。

首先来了解续租的办理方式。当原租赁合同期限即将届满，若承租人希望继续承租该房屋，应在合理期限内（通常建议提前一个月左右）向出租人表达续租意愿。这是因为出租人也需要时间来考虑是否继续出租以及对房屋后续使用做规划。

双方在达成续租共识后，需要重新签订租赁合同。新合同中要明确续租的期限，是短期续租几个月，还是长期续租几年，都要详细写明。同时，租金的金额、支付方式和支付时间也应在合同中明确规定。例如，租金是每月支付还是每季度支付，通过银行转账还是现金支付等。另外，租赁期间的其他权利和义务，如房屋维修责任、水电费等费用的承担等，也需要在合同中清晰界定，以避免后续产生纠纷。

在一些地区，房屋租赁合同需要进行备案登记。如果当地有相关规定，那么在重新签订租赁合同后，承租人和出租人应按照规定到当地的房地产管理部门或相关机构办理备案手续。办理备案需要携带双方的身份证明、租赁合同等相关材料。

接下来看看法定继续承租的情况。根据法律规定，承租人在房屋租赁期间死亡的，与其生前共同居住的人或者共同经营人可以按照原租赁合同租赁该房屋。这种情况下，无需重新签订租赁合同，共同居住人或共同经营人可以继续以原合同的条款继续使用房屋。不过，共同居住人或共同经营人需要向出租人提供相关证明，如共同居住的证明、共同经营的证明等，以证明其有权继续承租。例如，提供户口本证明共同居住关系，提供营业执照等证明共同经营关系。

无论是续租还是法定继续承租，在整个过程中都要注意保留相关的证据，如沟通记录、合同文本等，以维护自身的合法权益。

法律依据：

《中华人民共和国民法典》 第七百三十三条

租赁期限届满，承租人应当返还租赁物。返还的租赁物应当符合按照约定或者根据租赁物的性质使用后的状态。

《中华人民共和国民法典》 第七百三十四条

租赁期限届满，承租人继续使用租赁物，出租人没有提出异议的，原租赁合同继续有效，但是租赁期限为不定期。租赁期限届满，房屋承租人享有以同等条件优先承租的权利。