根据《中华人民共和国刑事诉讼法》规定，公安机关接到人民检察院批准逮捕决定书后，必须立即执行逮捕，至迟不得超过二十四小时。逮捕执行后，除无法通知的情况外，应当在二十四小时内通知被逮捕人的家属（此通知家属的文书即“逮捕通知书”）。

一、法律依据与核心时间要求

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十三条明确规定：“公安机关逮捕人的时候，必须出示逮捕证。逮捕后，应当立即将被逮捕人送看守所羁押。除无法通知的以外，应当在逮捕后二十四小时以内，通知被逮捕人的家属。”这里的“逮捕证”是公安机关执行逮捕的法定凭证，由人民检察院批准或决定后签发。实践中，“下达逮捕通知书”通常指通知家属的程序，而执行逮捕的核心时间要求是“接到批准逮捕决定书后立即执行，至迟不超过二十四小时”。这一规定旨在保障刑事诉讼的及时性，防止犯罪嫌疑人脱逃或证据灭失。

二、执行逮捕的具体程序

公安机关执行逮捕时，需严格遵循法定流程：首先，必须向被逮捕人出示逮捕证，表明执法身份和依据；其次，逮捕后应当立即将被逮捕人送看守所羁押，禁止在公安机关办案场所或其他非法定羁押场所滞留，这是保障被逮捕人人身权利的重要措施；最后，在逮捕后二十四小时内，公安机关必须对被逮捕人进行讯问，若发现不应当逮捕（如犯罪行为非其实施、证据不足等），应当立即释放并发放释放证明。

三、“逮捕通知书”与家属通知的特殊性

用户提到的“下达逮捕通知书”，实际是逮捕执行后的家属告知程序。根据刑事诉讼法，通知家属的时间限制为“逮捕后二十四小时内”，但存在两种例外情形：一是“无法通知”，例如被逮捕人身份不明、拒不提供家属联系方式、家属地址不详且无法通过其他途径联系等；二是“涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪，通知可能有碍侦查”，这种情况下可以暂不通知，但“有碍侦查的情形消失后，应当立即通知被逮捕人的家属”。需要注意的是，即使存在例外，公安机关也需在案卷中注明原因，且“有碍侦查”的认定需严格依据法律规定，不得随意扩大适用范围。

四、逾期未执行或通知的法律后果

若公安机关未在法定时限内执行逮捕（超过二十四小时），或未依法通知家属且无正当理由，将可能构成程序违法。根据《人民检察院刑事诉讼规则》，人民检察院发现公安机关执行逮捕不符合法定程序的，应当提出纠正意见；情节严重的，可能导致逮捕决定被撤销，或相关证据因程序违法被排除。此外，被逮捕人的家属可通过法律途径（如向检察机关申诉）维护其知情权和人身权利。

五、实践中的常见问题澄清

部分案件中，家属可能误以为“收到逮捕通知书”才意味着逮捕执行，实则两者存在时间差：逮捕执行在前（接到决定书后24小时内），家属收到通知书在后（逮捕后24小时内）。例如，公安机关在上午10时执行逮捕，需在次日10时前将被逮捕人送看守所并完成讯问，同时在次日10时前通知家属（若能通知）。若家属在逮捕执行后24小时内未收到通知书，可向公安机关查询原因，确认是否存在“无法通知”或“有碍侦查”的情形。

综上，公安机关执行逮捕的核心时限是“接到批准逮捕决定书后立即执行，至迟不超过二十四小时”，而“逮捕通知书”的送达是逮捕后的家属告知程序，同样受二十四小时时限约束（特殊情况除外）。这一制度设计既保障了刑事侦查的效率，也通过严格的时间限制防止权力滥用，维护被追诉人的合法权益。

法律依据：

《中华人民共和国刑事诉讼法》 第九十三条

公安机关逮捕人的时候，必须出示逮捕证。

逮捕后，应当立即将被逮捕人送看守所羁押。除无法通知的以外，应当在逮捕后二十四小时以内，通知被逮捕人的家属。

《中华人民共和国刑事诉讼法》 第九十四条

人民法院、人民检察院对于各自决定逮捕的人，公安机关对于经人民检察院批准逮捕的人，都必须在逮捕后的二十四小时以内进行讯问。在发现不应当逮捕的时候，必须立即释放，发给释放证明。