运输合同中承运人的义务主要包括安全运输义务、按约定运输义务、及时通知义务、妥善保管义务等。

在运输合同中，承运人承担着多项重要义务。安全运输义务。这是承运人的核心义务之一。承运人应当在约定期间或者合理期间内将旅客、货物安全运输到约定地点。对于旅客运输，要保障旅客在运输过程中的人身和财产安全，采取必要的安全措施，如确保运输工具的安全性能良好、配备必要的安全设备等。在货物运输中，要保证货物在运输过程中不受损坏、灭失等，采取适当的防护措施，防止货物因运输不当而遭受损失。

按约定运输义务也十分关键。承运人必须按照合同约定的运输路线、运输时间等进行运输。如果需要变更运输路线等，应当取得托运人或者旅客的同意。例如，在货物运输中，若合同约定了特定的运输路线，承运人擅自改变路线导致货物延迟到达或者产生额外费用，就可能构成违约。

及时通知义务同样不容忽视。在运输过程中，若出现影响运输的情况，如运输工具故障、交通管制等，承运人应当及时通知托运人或者旅客。在货物运输到达后，承运人知道收货人的，应当及时通知收货人。这样可以让托运人或旅客及时了解运输情况，采取相应的措施。

妥善保管义务也是承运人的重要职责。在运输期间，承运人对旅客托运的行李、货物等负有妥善保管的责任。要根据货物的性质、特点等进行合理的保管，如对于易腐货物要采取冷藏等措施。若因承运人保管不善导致货物损坏、灭失，承运人要承担相应的赔偿责任。

在旅客运输中，承运人还应向旅客及时告知有关不能正常运输的重要事由和安全运输应当注意的事项，为旅客提供必要的服务和便利。这些义务都是为了保障运输合同的顺利履行，维护双方当事人的合法权益。

法律依据：

《中华人民共和国民事诉讼法》 第二百二十五条

债权人请求债务人给付金钱、有价证券，符合下列条件的，可以向有管辖权的基层人民法院申请支付令：

（一）债权人与债务人没有其他债务纠纷的；

（二）支付令能够送达债务人的。

申请书应当写明请求给付金钱或者有价证券的数量和所根据的事实、证据。