被批捕后取保候审根据案件所处的不同阶段，分别由不同部门批准，侦查阶段由公安机关批准，审查起诉阶段由人民检察院批准，审判阶段由人民法院批准。

在刑事诉讼过程中，被批捕后的犯罪嫌疑人或被告人申请取保候审，批准部门会因案件所处的不同阶段而有所不同。

侦查阶段：在这个阶段，案件主要由公安机关负责侦查工作。如果犯罪嫌疑人被批捕后想要申请取保候审，是向公安机关提出申请，由公安机关进行批准。公安机关会综合多方面因素来考量是否同意取保候审申请，比如犯罪嫌疑人的犯罪性质、情节轻重、是否有社会危险性、是否可能干扰证人作证、毁灭证据等。例如，对于一些犯罪情节较轻，且犯罪嫌疑人患有严重疾病，生活不能自理的情况，公安机关可能会批准取保候审申请。

审查起诉阶段：当案件侦查终结后，会移送至人民检察院进行审查起诉。此时若犯罪嫌疑人申请取保候审，批准权在人民检察院。人民检察院会依据法律规定和案件具体情况进行审查。比如，对于证据不足，需要补充侦查的案件，犯罪嫌疑人可能符合取保候审条件，人民检察院可能会批准其取保候审申请，让其在相对自由的环境中等待进一步的诉讼程序。

审判阶段：案件进入到法院审判阶段后，被告人申请取保候审的，由人民法院批准。法院会根据案件的事实、证据以及被告人的具体情况来判断是否准予取保候审。例如，对于可能被判处管制、拘役或者独立适用附加刑的被告人，法院可能会考虑批准其取保候审申请。

不同阶段的批准部门会依据各自的职责和法律规定，对取保候审申请进行严格审查和判断，以确保刑事诉讼的顺利进行和司法公正的实现。

法律依据：

《中华人民共和国刑事诉讼法》 第九十条

人民检察院对于公安机关提请批准逮捕的案件进行审查后，应当根据情况分别作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。对于批准逮捕的决定，公安机关应当立即执行，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于不批准逮捕的，人民检察院应当说明理由，需要补充侦查的，应当同时通知公安机关。