一般情况下，孩子2个月离婚时抚养权会判给母亲抚养。

依据《中华人民共和国民法典》第一千零八十四条第三款规定，离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。两周岁以下的子女，在生理上对母亲有更多的需求，母亲给予的母乳喂养和悉心照料更有利于孩子的健康成长。孩子2个月尚处于婴儿期，此时母亲抚养对其成长更为有利，所以通常会将抚养权判给母亲。

不过，也存在一些特殊情况会导致抚养权不判给母亲。根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第四十四条规定，如果母亲有下列情形之一，父亲请求直接抚养的，人民法院会予以支持。一是母亲患有久治不愈的传染性疾病或者其他严重疾病，子女不宜与其共同生活。比如母亲患有严重的肺结核等传染性疾病，可能会对孩子的健康造成威胁，这种情况下法院可能会考虑将抚养权判给父亲。二是母亲有抚养条件不尽抚养义务，而父亲要求子女随其生活。例如母亲对孩子不管不顾，不履行喂养、照顾等抚养义务，而父亲愿意承担起抚养责任，法院也可能会将孩子判给父亲。三是因其他原因，子女确不宜随母亲生活。这属于兜底条款，具体情况需要结合实际案例来判断，比如母亲有吸毒、赌博等不良嗜好，或者存在虐待孩子等行为，严重影响孩子的身心健康，法院也可能会做出不同的判决。

在处理抚养权问题时，法院始终以最有利于未成年子女的原则进行判决。父母双方也应该从孩子的利益出发，友好协商，共同为孩子创造良好的成长环境。即使抚养权判给一方，另一方也享有探视权，并需要承担相应的抚养费用，以保障孩子的健康成长。

法律依据：

《中华人民共和国民法典》 第一千零八十四条

父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。子女已满八周岁的，应当尊重其真实意愿。

第一千零八十五条

离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。