执行死刑的部门是第一审人民法院，具体依据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释的规定，由作出死刑判决的第一审人民法院负责执行，执行前需经最高人民法院核准并下达执行命令。

根据中国现行法律体系，死刑执行的主体明确为第一审人民法院，这一规定源于《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百六十二条及《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国刑事诉讼法〉的解释》第五百零九条的明确条款。死刑作为最严厉的刑罚，其执行程序受到严格法律规制，执行主体的确定直接关系到司法程序的合法性与严肃性。

首先，死刑判决的生效与执行命令的下达是执行的前提。根据法律规定，中级人民法院判处死刑的第一审案件，被告人不上诉、人民检察院不抗诉的，应当在上诉、抗诉期满后报请高级人民法院复核，高级人民法院同意判处死刑的，再报请最高人民法院核准；最高人民法院判处和核准的死刑立即执行的判决，应当由最高人民法院院长签发执行死刑命令。只有在执行死刑命令下达后，第一审人民法院才能启动执行程序，这一流程确保了死刑判决的审慎性与权威性。

其次，执行主体的职责范围明确。第一审人民法院在收到最高人民法院的执行死刑命令后，应当在七日以内交付执行。执行前，法院需履行多项法定程序：包括通知同级人民检察院派员临场监督（《刑事诉讼法》第二百六十三条），以确保执行过程合法；对罪犯进行身份核实，讯问其是否有遗言、信札等，保障罪犯的基本权利；必要时还需通知罪犯家属，但家属是否到场不影响执行。这些程序设计体现了对生命权的尊重与司法程序的严谨性。

在执行过程中，第一审人民法院承担具体执行工作，但可根据实际需要协调其他部门协助。例如，公安机关负责执行现场的安全警戒，确保执行环境不受干扰；医疗部门在采用注射方式执行时提供专业技术支持，但这些部门仅为协助角色，执行主体始终是第一审人民法院，不得委托其他机关或组织替代。这种分工既保障了执行效率，又明确了司法机关的核心责任。

此外，执行方式的规范性也由法律明确。《刑事诉讼法》第二百六十三条规定，死刑采用枪决或者注射等方法执行，采用注射方法执行死刑的，应当在指定的刑场或者羁押场所内进行。执行方式的选择需遵循“尽量减少罪犯痛苦”的原则，体现人道主义精神，而执行过程的具体操作由第一审人民法院根据实际情况组织实施，确保符合法律规定与公序良俗。

需要特别强调的是，死刑执行是司法程序的终端环节，其合法性依赖于前序程序的完整与规范。从第一审判决、上诉抗诉、高级法院复核到最高人民法院核准，再到执行命令的签发与交付执行，每个环节均有明确的法律依据和时限要求，第一审人民法院作为执行主体，必须严格遵循法定程序，确保死刑执行的每一步都符合《刑事诉讼法》及相关司法解释的规定，维护司法权威与社会公平正义。

法律依据：

《中华人民共和国刑法》 第四十八条

死刑只适用于罪行极其严重的犯罪分子。对于应当判处死刑的犯罪分子，如果不是必须立即执行的，可以判处死刑同时宣告缓期二年执行。死刑除依法由最高人民法院判决的以外，都应当报请最高人民法院核准。死刑缓期执行的，可以由高级人民法院判决或者核准。

《中华人民共和国刑法》 第五十条

判处死刑缓期执行的，在死刑缓期执行期间，如果没有故意犯罪，二年期满以后，减为无期徒刑；如果确有重大立功表现，二年期满以后，减为二十五年有期徒刑；如果故意犯罪，情节恶劣的，报请最高人民法院核准后执行死刑；对于故意犯罪未执行死刑的，死刑缓期执行的期间重新计算，并报最高人民法院备案。