逮捕决定书出具后，公安机关应当立即执行。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释，公安机关在接到人民检察院或人民法院的逮捕决定书后，需由县级以上公安机关负责人签发逮捕证，并即刻采取抓捕行动，不存在法定拖延事由的，不得延误执行。

逮捕决定书是人民检察院或人民法院针对符合逮捕条件的犯罪嫌疑人、被告人作出的批准或决定逮捕的法律文书，其执行效率直接关系到刑事诉讼程序的合法性与侦查活动的顺利推进。以下从法律依据、执行要求、特殊情形等方面展开说明：

首先，法律明确规定“立即执行”的基本原则。《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十三条规定：“公安机关逮捕人的时候，必须出示逮捕证。逮捕后，应当立即将被逮捕人送看守所羁押。”同时，《公安机关办理刑事案件程序规定》第一百四十二条进一步细化：“接到人民检察院批准逮捕决定书后，应当由县级以上公安机关负责人签发逮捕证，立即执行，并在执行完毕后三日以内将执行回执送达作出批准逮捕决定的人民检察院。”这里的“立即执行”强调及时性，即公安机关在收到逮捕决定书后，需第一时间启动抓捕程序，不得因非法定事由（如等待“合适时机”“人手调配”等）拖延，否则可能构成程序违法。

其次，执行程序需严格遵循法定要求。执行逮捕时，公安机关必须出示经县级以上负责人签发的逮捕证，向被逮捕人宣布逮捕决定，并责令其在逮捕证上签名或捺指印。逮捕后，需在24小时内将被逮捕人送看守所羁押，并除无法通知（如身份不明、地址不详）或涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪通知可能有碍侦查的情形外，在24小时内通知被逮捕人的家属。这些程序要求与“立即执行”相辅相成，确保抓捕行为的合法性与规范性，避免超期羁押或非法拘禁风险。

再者，特殊情形下的执行衔接问题。实践中，若被逮捕人不在案（如潜逃、下落不明），公安机关需依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百五十五条启动通缉程序，发布通缉令追捕，待将其抓获后立即执行逮捕。此外，对异地执行逮捕的，公安机关需通知当地公安机关协助，协作方应配合优先执行，确保不因地域因素影响执行效率。需注意的是，即使存在上述特殊情形，“立即执行”的核心要求不变——只要被逮捕人处于可控范围内，就必须即刻采取强制措施。

最后，拖延执行的法律后果与监督机制。若公安机关无正当理由拖延执行逮捕决定，可能导致犯罪嫌疑人串供、毁灭证据或继续危害社会，同时检察机关可通过审查执行回执、羁押必要性审查等方式进行监督，对违法拖延行为提出纠正意见。严重违反“立即执行”原则的，可能影响后续证据的合法性，甚至导致逮捕决定因程序违法被撤销。

综上，逮捕决定书的执行以“立即”为核心准则，这既是保障刑事侦查活动顺利进行的需要，也是维护公民人身权利、防止程序违法的重要制度设计。公安机关需严格依照法律规定，在接到决定书后第一时间启动执行程序，确保司法权威与程序正义的统一。

法律依据：

《公安机关办理刑事案件程序规定》 第一百四十二条

接到人民检察院批准逮捕决定书后，应当由县级以上公安机关负责人签发逮捕证，立即执行，并在执行完毕后三日以内将执行回执送达作出批准逮捕决定的人民检察院。如果未能执行，也应当将回执送达人民检察院，并写明未能执行的原因。