伤情鉴定双方都是轻伤害，通常情况下双方都要承担相应的刑事责任和民事赔偿责任。在刑事责任方面，可能会依据故意伤害罪来处理；在民事赔偿上，双方需对给对方造成的人身损害进行赔偿。

从刑事责任角度来看，根据《中华人民共和国刑法》规定，故意伤害他人身体致人轻伤的，构成故意伤害罪。当双方伤情鉴定均为轻伤时，意味着双方都可能触犯了故意伤害罪。不过在司法实践中，会综合考虑案件的起因、过程、双方的过错程度等因素。如果是因民间纠纷引起的此类情况，且双方都有过错，司法机关可能会根据具体情况决定是否适用刑事和解程序。若双方达成和解协议，被害人自愿和解，公安机关可以向人民检察院提出从宽处理的建议。人民检察院可以向人民法院提出从宽处罚的建议；对于犯罪情节轻微，不需要判处刑罚的，可以作出不起诉的决定。人民法院可以依法对被告人从宽处罚。

在民事赔偿方面，双方都有权要求对方赔偿因伤害行为造成的损失。赔偿范围一般包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等。具体的赔偿金额需要根据实际发生的费用以及相关证据来确定。双方可以通过协商的方式确定赔偿事宜，如果协商不成，任何一方都可以向人民法院提起民事诉讼，由法院根据双方的过错程度等因素来划分赔偿责任比例，进而确定具体的赔偿金额。

在处理此类案件时，相关部门还会注重化解双方的矛盾，促进社会和谐。比如通过调解等方式，让双方达成相互谅解，妥善解决纠纷，避免矛盾进一步激化。双方都要为自己的伤害行为承担相应的法律后果，同时也有权利维护自身的合法权益。

法律依据：

《中华人民共和国治安管理处罚法》 第九条

对于因民间纠纷引起的打架斗殴或者损毁他人财物等违反治安管理行为，情节较轻的，公安机关可以调解处理。经公安机关调解，当事人达成协议的，不予处罚。经调解未达成协议或者达成协议后不履行的，公安机关应当依照本法的规定对违反治安管理行为人给予处罚，并告知当事人可以就民事争议依法向人民法院提起民事诉讼。