法定监护人不尽监护义务，可由相关个人或组织向法院申请，撤销其监护人资格，安排必要的临时监护措施，并按照最有利于被监护人的原则依法指定监护人。同时，原监护人仍需负担被监护人的抚养费、赡养费等费用。

在法律体系中，法定监护人承担着保护被监护人的人身权利、财产权利以及其他合法权益等重要职责。然而，现实中存在法定监护人不尽监护义务的情况。

当发现法定监护人不尽监护义务时，有多种途径可以启动处理程序。根据法律规定，其他依法具有监护资格的人，比如未成年人的祖父母、外祖父母等近亲属，以及居民委员会、村民委员会、学校、医疗机构、妇女联合会、残疾人联合会、未成年人保护组织、依法设立的老年人组织、民政部门等个人和组织，都有权向人民法院提出申请。

法院在接到申请后，会根据具体情况进行审理。如果查证属实，法院会作出撤销原监护人资格的判决。在撤销资格的同时，法院会安排必要的临时监护措施，以确保被监护人在新的监护人确定之前，其生活和权益能得到保障。例如，可以指定民政部门或者其他愿意担任监护人且具备监护能力的个人、组织进行临时监护。

然后，法院会按照最有利于被监护人的原则，从依法具有监护资格的人中指定新的监护人。在指定过程中，会综合考虑被监护人的意愿、监护人的监护能力、与被监护人的生活情感联系等多方面因素。

需要注意的是，即便原监护人的资格被撤销，其依法应当负担的被监护人的抚养费、赡养费、扶养费等费用，并不会因此而免除。这是为了保障被监护人的基本生活需求和合法权益。通过这些法律规定和处理程序，能够有效应对法定监护人不尽监护义务的问题，最大程度保护被监护人的利益。

法律依据：

《中华人民共和国民法典》 第三十四条

监护人的职责是代理被监护人实施民事法律行为，保护被监护人的人身权利、财产权利以及其他合法权益等。

监护人依法履行监护职责产生的权利，受法律保护。

监护人不履行监护职责或者侵害被监护人合法权益的，应当承担法律责任。

因发生突发事件等紧急情况，监护人暂时无法履行监护职责，被监护人的生活处于无人照料状态的，被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门应当为被监护人安排必要的临时生活照料措施。