合同当事人不履约，守约方可以通过协商、调解、仲裁或诉讼等方式解决。要求违约方承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。

当合同当事人不履约时，首先可以尝试与违约方进行协商。这是最为直接和成本较低的解决方式。双方通过沟通，明确违约的原因以及探讨解决方案。比如，在买卖合同中，如果卖方未按时交付货物，买方可以与卖方协商确定新的交付时间，并要求卖方承担因延迟交付可能给买方造成的损失。通过友好协商，有可能达成双方都能接受的解决方案，继续履行合同。

如果协商不成，可以寻求第三方调解。可以邀请合同双方都信任的第三方，如行业协会、商会等进行调解。调解人会根据合同的具体情况和双方的诉求，提出合理的解决方案。调解的优势在于它具有灵活性和非对抗性，能够在一定程度上维护双方的合作关系。

若调解也无法解决问题，且合同中有仲裁条款，那么可以向约定的仲裁机构申请仲裁。仲裁具有专业性和高效性的特点。仲裁庭会根据双方提供的证据和陈述，依据相关法律法规和合同约定作出裁决。仲裁裁决具有法律效力，一方不履行仲裁裁决的，另一方可以向法院申请强制执行。

如果合同中没有仲裁条款，那么可以向有管辖权的人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，守约方需要提供充分的证据证明合同的存在、对方的违约行为以及自己因此遭受的损失。法院会根据事实和法律作出判决。对于承担违约责任的方式，根据《民法典》规定，当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。例如，在建设工程合同中，如果承包方未按照合同约定的质量标准完成工程，发包方可以要求承包方采取返工等补救措施；如果造成发包方其他损失的，还可以要求赔偿损失。

总之，合同当事人不履约时，守约方应根据具体情况选择合适的解决方式，以维护自己的合法权益。

法律依据：

《中华人民共和国民法典》 第五百零九条

当事人应当按照约定全面履行自己的义务。

当事人应当遵循诚信原则，根据合同的性质、目的和交易习惯履行通知、协助、保密等义务。

当事人在履行合同过程中，应当避免浪费资源、污染环境和破坏生态。

《中华人民共和国民法典》 第五百七十七条

当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。