一般情况下，公司开除员工是公司主动解除与员工的劳动关系，通常是公司可能需要向员工支付赔偿金而非公司追索赔偿金，但在特定情形下公司可以要求员工赔偿损失。

在劳动法律关系中，正常的逻辑是员工因公司违法解除劳动合同等情况而向公司主张赔偿金。根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。例如，公司无正当理由随意开除员工，员工就有权要求公司给予相应赔偿。

存在一些特殊情形，公司可以向员工追索赔偿。如果员工存在严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害的情况，公司不仅可以解除劳动合同，还可以要求员工赔偿损失。例如，员工在工作中因故意或重大过失导致公司的重要商业机密泄露，使公司遭受巨大的经济损失，公司就可以依据相关法律和公司规章制度要求员工承担赔偿责任。

如果员工违反劳动合同中约定的保密义务或者竞业限制，给用人单位造成损失的，应当承担赔偿责任。比如员工在离职后违反竞业限制协议，到与原公司有竞争关系的企业工作，给原公司的业务开展带来不利影响，原公司可以通过法律途径要求员工赔偿因此遭受的损失。

还有一种情况，如果员工在试用期内不符合录用条件，公司可以解除劳动合同，但如果员工在入职过程中提供了虚假的学历、工作经历等信息，导致公司做出错误的录用决定，并且给公司造成了一定的招聘成本等损失，公司也可以要求员工赔偿相应的损失。虽然公司开除员工时大多是员工可能获得赔偿，但在符合法定情形下，公司也有权利向员工追索赔偿。

法律依据：

《中华人民共和国劳动合同法》 第三十九条

劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：

（一）在试用期间被证明不符合录用条件的；

（二）严重违反用人单位的规章制度的；

（三）严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；

（四）劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；

（五）因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的；

（六）被依法追究刑事责任的。