当公务员失职失责给老百姓造成名誉损失时，可通过向该公务员所在单位或上级主管部门投诉、申请行政复议、提起行政诉讼、要求精神损害赔偿等途径来维护权益。

向该公务员所在单位或上级主管部门进行投诉是较为直接的方式。这是因为公务员受其所在单位管理和监督，上级主管部门也有权力对其进行约束。在投诉时，要准备好相关证据，如能证明公务员失职失责行为的文件、聊天记录、视频、音频等，以及能体现自身名誉受损的资料，比如他人的议论、评价降低等方面的证据。以书面形式详细说明事件经过、造成的影响以及诉求，明确指出公务员的失职失责之处以及给自己名誉带来的损害。

如果投诉未能得到满意的处理结果，可考虑申请行政复议。行政复议是公民、法人或其他组织认为行政机关的具体行政行为侵犯其合法权益，依法向行政复议机关提出复查该具体行政行为的申请。在这种情况下，老百姓可将公务员的失职失责行为视为行政机关的不当行为，在规定的期限内（一般是知道该具体行政行为之日起六十日内）向有管辖权的行政复议机关提出申请。行政复议机关会对案件进行全面审查，判断该公务员的行为是否违法或不当，以及是否对老百姓的名誉造成了损害。

提起行政诉讼也是重要的途径。行政诉讼是通过司法程序来解决行政争议。老百姓可以向有管辖权的人民法院提起行政诉讼，要求法院对公务员的失职失责行为进行审查，并判定其承担相应的法律责任。在诉讼过程中，要遵循法定的诉讼程序，积极配合法院的审理工作，提供充分的证据支持自己的主张。

根据《中华人民共和国国家赔偿法》等相关法律规定，如果公务员的失职失责行为给老百姓造成了名誉损害，老百姓有权要求精神损害赔偿。在提出赔偿请求时，要根据自身名誉受损的程度、造成的精神痛苦等因素合理确定赔偿数额，并在上述投诉、复议或诉讼过程中一并提出。通过这些途径，老百姓可以在一定程度上弥补名誉损失，维护自己的合法权益。

法律依据：

《中华人民共和国公务员法》 第六十三条

对公务员的处分，应当事实清楚、证据确凿、定性准确、处理恰当、程序合法、手续完备。

公务员违纪违法的，应当由处分决定机关决定对公务员违纪违法的情况进行调查，并将调查认定的事实以及拟给予处分的依据告知公务员本人。公务员有权进行陈述和申辩；处分决定机关不得因公务员申辩而加重处分。

处分决定机关认为对公务员应当给予处分的，应当在规定的期限内，按照管理权限和规定的程序作出处分决定。处分决定应当以书面形式通知公务员本人。